Intersecções

Intersecção entre rectas

A intersecção entre duas rectas é definida através de um ponto, só existe intersecção entre rectas se elas forem concorrentes. A intersecção entre duas rectas é sempre um ponto

Intersecção entre rectas e planos

A intersecção entre planos e rectas também é um ponto, nunca pudemos intersectar uma recta que pertence a um plano. Por exemplo, uma recta frontal intersecta com um plano de nível, pois esta não pertence ao plano.

Aqui, neste exemplo, temos um plano de rampa e uma recta de perfil não pertencente ao plano, deste modo, rebatemos o plano e a recta e vemos o ponto de intersecção na tripla projecção, contra-rebatemos o ponto e voltamos-o a ver em dupla projecção ortogonal.

Intersecções entre planos

Método Geral: Quando os dois traços frontais dos planos se intersectam temos o traço frontal da recta, onde os traços horizontais do plano se intersectarem temos o traço horizontal da recta. Unimos F2 a H2 e temos a projecção frontal da recta de intersecção, unimos F1 a H1 e temos a projecção horizontal.

Por exemplo, nos planos verticais, o traço frontal não se intersecta, pois são paralelas, então a projecção frontal da recta de intersecção será paralela ao traço frontal do plano.

O inverso acontece nos planos de topo.

Intersecções de Planos com Planos Bissectores

Para definir a intersecção do plano com os β, temos de achar os traços notáveis das duas rectas usadas para formar o plano, depois unimos o ponto I de uma recta com o ponto I de outra, e o mesmo com o Q, desse modo, encontraremos a intersecção do plano com os planos bissectores. As rectas de intersecção com os β, intersectam-se num só ponto, o inicio do plano.

Métodos Auxiliares

Quando a abertura dos planos é demasiado excessiva, e a intersecção deles não cabe dentro da nossa área de trabalho, o que fazemos?

Usamos quatro rectas auxiliares, ou de nível ou frontais, achamos a intersecção entre as rectas e unimos os pontos de intersecção. Desse modo, encontramos a recta de intersecção entre os dois planos.

Planos de rampa

Pelo método geral, deveríamos usar um plano projectante(de topo ou vertical), achar as duas rectas de intersecção do plano projectante com cada um dos planos de rampa, achar o ponto de intersecção das duas rectas de intersecção, e achar no final a intersecção dos dois planos de rampa, sendo ela uma recta fronto-horizontal. Blá Blá Blá

Maneira Mais Fácil

O Prof. Cambão,ensinou-nos uma maneira muito mais fácil e pratica para achar a intersecção de dois planos de rampa.

Rebatemos os dois planos de rampa, vemos a sua intersecção na tripla projecção, contra-rebatemos, e temos a recta de intersecção sem complicações.

O Plano

Condição geral para formar um plano

Para criar um plano precisamos de três pontos não colineares, duas recta paralelas ou duas rectas concorrentes.

Três pontos não colineares

Tendo três pontos não colineares podemos formar duas rectas e desse modo achar o plano

Rectas Paralelas

Com duas rectas paralelas, achando os seus traços, e formamos o plano

Rectas Concorrentes

Duas rectas concorrentes, acha-se os seus traços e formasse o plano.

Como formar um plano?

Para formar um plano precisamos dos traços das rectas (paralelas ou concorrentes)

Depois de acharmos os traços da recta unimos F2a+F2b=fα e H1a+H1b=hα, isto é

O fα e o hα intersectam-se sempre em x.

Alfabeto do Plano

Plano Frontal (de Frente)

O Plano Frontal não tem traço frontal, pois este encontra-se paralelo ao plano frontal de projecçao. Contém rectas frontais, fronto-horizontais e rectas verticais. O Plano Frontal só atravessa 2 Diedros, do I para o IV diedro(vice-versa), ou do II para o III diedro(vice-versa). O Plano Frontal é um plano projectante horizontal, porque é perpendicular ao plano horizontal de projecção.

Plano de nível

O Plano de nível é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção,por isso não tem traço horizontal. As rectas pertencentes a este plano são recta de nível, recta de topo e recta fronto-horizontal. O plano só atravessa 2 diedros, o I e o II diedros(vice-versa), ou o IV e o III diedros(vice-versa). O plano de nível é um plano projectante frontal, porque este é perpendicular ao plano frontal de projecção.

Plano Obliquo

O plano obliquo é obliquo aos dois planos de projecção, por isso os seus traços são ambos obliquos aos eixo x. O plano contém rectas frontais, de nivel, perfil, obliqua e passante. O plano obliquo é um plano não-projectante, pois não é perpendicular a nenhum dos planos de projecção. O plano pode atravessar os 4 diedros.

Plano de Topo

O plano de topo contém os dois traços, sendo o hα perpendicular e o fα obliquo ao eixo x, o que significa que é projectante frontal. O plano contém rectas de topo, frontais, obliquos e passantes. O plano de topo pode atravessar os 4 diedros.

Plano vertical

O plano vertical tem ambos os traços, sendo o fα perpendicular e o hα obliquo ao eixo x, o que significa que é projectante horizontal. O plano contém rectas verticais, de nivel, passantes e obliquas. O plano pode atravessar os 4 diedros.

Plano de rampa

O plano de rampa também contém ambos os traços, tanto o traço frontal como o traço horizontal são paralelos a x. O plano contém rectas fronto-horizontais, perfil e obliqua. O plano é um plano não-projectante. O plano pode atravessar 3 diedros consecutivos.

Plano de Perfil

O plano de perfil tem os traços coincidentes e perpendiculares a x. É duplamente projectante, porque é perpendicular aos planos de projecção. Contém rectas de topo, vertical, passante e perfil. Atravessa os 4 diedros.

Plano Passante

O plano passante é um plano não projectante, os seus traços são coincidentes a x. Contem rectas passantes e fronto-horizontais. O plano passante atravessa 2 diedros, os impares ou os pares.

Como saber se um ponto pertence a um plano?
Um ponto pertence a um plano, se pertencer a uma recta do plano.

regra: A∈a∈α

Recta de maior inclinação

A recta de maior inclinação tem a projecção frontal perpedicular a fα.


A recta de maior declive

A recta de maior declive tem a projecção horizontal perpendicular a hα

Planos na realidade

São planos que podemos encontrar no nosso dia-a-dia nos objectos que temos em casa como mobilia

Nesta imagem podemos encontrar plano de topo no telhado, a parede da frente podemos encontrar plano frontal e as paredes laterais (que não aparecem nesta imagem) são planos de perfil e a parede que contem uma grande janela e um plano vertical.

A recta

A recta, como o meu professor diz, é um ponto em movimento.

O que são os traços da recta?

O traço frontal de uma recta (ponto F) é o ponto onde a recta intersecta o Plano Frontal de Projecção, e o traço horizontal (ponto H) é o ponto onde a recta intersecta o Plano Horizontal de Projecção.

O que são os pontos notáveis de uma recta?

O ponto Q é o ponto onde a recta intersecta com o β1/3, o ponto I é o ponto onde a recta intersecta o β2/4.

Alfabeto da Recta

A recta de nível ou horizontal é paralela ao Plano Horizontal de Projecção,o que significa que não tem traço horizontal, e obliqua ao Plano Frontal de Projecção. A sua projecção frontal (n2) fica paralela a x.

Todos os pontos dessa recta estão na mesma projectante frontal, isto é, todos os pontos têm a mesma cota.

A recta frontal ou de frente é paralela ao Plano Frontal de Projecção, o que significa que não tem traço frontal, e obliqua ao Plano Horizontal de Projecção. A sua projecção horizontal (f1) fica paralela a x.

Todos os pontos pertencentes à recta estão na mesma projectante horizontal, isto é, têm o mesmo afastamento

A recta fronto-horizontal é duplamente paralela, ou seja, é paralela ao Plano Horizontal e Frontal de Projecção, o que significa que esta recta não tem traço horizontal nem traço frontal. As duas projecções são paralelas a x. Os pontos pertencentes à recta estão na mesma projectante frontal e horizontal, pois, têm todos o mesmo afastamento e a mesma cota, o que muda é a abcissa.

A recta de topo é paralela ao Plano Horizontal de Projecção, o que significa que não tem traço horizontal, e perpendicular ao Plano Frontal de Projecção. A projecção horizontal da recta é perpendicular a x e a projecção frontal é um ponto. Todos os ponto pertencente a recta estão na mesma projectante frontal, ou seja, têm todos a mesma cota.

A recta vertical é paralela ao Plano Frontal de Projecção, o que significa que não tem traço frontal, e perpendicular ao Plano Horizontal de Projecção. A sua projecção frontal fica perpendicular a x e a projecção horizontal é um ponto. Todos os pontos nesta recta têm o mesmo afastamento porque estão na mesma projectante horizontal.

A recta obliqua é obliqua aos Planos de Projecção,o que significa que tem os dois traços, tanto o frontal como o horizontal. Ambas as projecções da são obliquas a x.

A recta de perfil é obliqua aos Planos de Projecção e paralela ao Plano de Perfil, tem o traço horizontal como o traço frontal da recta. Tem as suas projecções são coincidentes e perpendiculares ao eixo x. Não fica definida somente pelas suas projecções, precisamos das projecções de dois pontos.

A recta passante obliqua é obliqua ao Plano de Perfil. A recta passa pelo eixo x, o que significa que os traços e os pontos notáveis da recta estão todos em x, e ambas as projecções da recta intersectam em x.

Igual à recta passante obliqua, só que esta é paralela ao Plano de Perfil.

Passando para o real

Se considerarmos a parede da frente o nosso Plano Frontal de Projecção, então a recta a (verde) é uma recta frontal, a recta b (vermelha) é uma recta vertical e a recta c (azul) é uma recta fronto-horizontal.

Se a parede da frente for considerada o nosso Plano Frontal de Projecção e a parede lateral for o nosso Plano de Perfil de Projecção, então a recta a (azul) é uma recta fronto-horizontal, a recta b (verde) é vertical e a recta p (vermelha) é de perfil.

A recta azul é uma recta obliqua e a laranja é uma recta de perfil. 

Como saber se um ponto pertence á recta?

Para um ponto pertencer a uma recta tem obrigatoriamente de a projecção 1 do ponto estar sob a projecção 1 da recta e a projecção 2 do ponto estar sob a projecção 2 da recta.

O Ponto H, F e B são os únicos pontos pertencentes à recta, porque o ponto A, tem as projecções contrárias as projecções da recta, o ponto C só a projecção frontal é coincidente com a projecção frontal da recta e o ponto D, só a projecção horizontal é coincidente com a projecção horizontal da recta.

Regra:

As projecções do mesmo nome do Ponto têm de pertencer às projecções do mesmo nome da Recta.

Como achar os traços e os pontos notáveis da recta?

Se seguirmos a projecção 1(horizontal) da recta quando ela intersecta x encontramos aí o F1, fazemos linha de chamada prependicular a x e quando intersectar a projecção 2 (frontal) temos F2. Se fizermos o mesmo com a projecção frontal, quando intersectar x, temos H2. Quando as duas projecções da recta se intersectam, temos aí o ponto I. Se unirmos de H1 a F2 teremos uma linha que quando intersectar x temos o Q0, desse modo, fazemos uma linha de chamada prependicular a x, onde a linha de chamada intersectar a2, termos, então, Q2, e quando intersectar a1, temos Q1.

Outra maneira de determinar o Q

Normalmente, para acharmos o ponto Q, unimos H1 a F2, e quando a recta não tem um dos traços? Por exemplo, nas rectas de nível, calculamos o ângulo que a projecção horizontal faz com o eixo x,e traçamos uma linha auxiliar com o mesmo ângulo para cima, onde a linha auxiliar intersectar a projecção frontal, temos Q2.

O que acontece quando uma recta não tem Q?

Por exemplo, uma recta passante, que tenha as projecções a fazerem o mesmo ângulo com x, significa que não tem Q, ou melhor, esta recta pertence ao β1/3.

Quando não tem Q, significa que a recta ou pertence ao β1/3, ou é paralela a ele.

Que acontece quando a recta não tem I?

Uma recta tem as projecções paralelas entre si, significa que só se irão cruzar no infinito (nunca), ou seja, a recta não tem ponto I, significa que ou a recta pertence ao β2/4 ou é paralela a ele,como no exemplo acima.

Rectas Paralelas

Duas rectas para serem paralelas têm de obrigatoriamente ter as projecções do mesmo nome paralelas entre si.

Rectas concorrentes

Duas rectas para serem concorrentes têm de ter um ponto em comum.

Rectas Ortogonais

Por exemplo, numa recta de nível, olhamos para a projecção horizontal e parecem concorrentes, mas depois olhando para a projecção frontal vemos que elas não se cruzam realmente, pois possuem cota diferente.

Isto é, duas rectas ortogonais, são aquelas que vistas numa projecção parece que fazem um ângulo de 90º(somente são ortogonais se fizerem 90º) e na realidade não se tocam.

E nas rectas frontais:

Como definir o percurso da recta?

Fazendo duas rectas paralelas a x, puxasse as linhas auxiliares dos traços e dos pontos notáveis da recta. Na linha de cima insere-se os diedro, na linha de baixo os octantes. No final carregasse a recta que está no I diedro.